শুরুতে ভিত্তি হিসেবে ভগ্নাংশ। তারপর নবম–দশম শ্রেণির সাধারণ গণিত বইয়ের অধ্যায়ের ক্রমে অ্যানিমেশন; ব্যবহারিক জ্যামিতি ও বীজগাণিতিক অনুপাত ছাড়া সব অধ্যায়ের জন্যই আছে। প্রতিটি টপিকের নিচে বইয়ের অধ্যায়ের লিংক দেওয়া আছে।
শুরুতে ভিত্তি হিসেবে ভগ্নাংশ। তারপর নবম–দশম শ্রেণির সাধারণ গণিত বইয়ের অধ্যায়ের ক্রমে অ্যানিমেশন; ব্যবহারিক জ্যামিতি ও বীজগাণিতিক অনুপাত ছাড়া সব অধ্যায়ের জন্যই আছে। প্রতিটি টপিকের নিচে বইয়ের অধ্যায়ের লিংক দেওয়া আছে।
ভগ্নাংশ বোঝায় কোনো জিনিসকে সমান ভাগে কাটলে তার কতটুকু অংশ। ৩/৪-এ নিচের সংখ্যা (হর) বলে পুরোটা ৪টি সমান টুকরায় কাটা হয়েছে। ওপরের সংখ্যা (লব) বলে তোমার কাছে আছে তার ৩টি।
প্রতিটি টুকরা দুই ভাগ করো: টুকরা দ্বিগুণ, প্রতিটি অর্ধেক। রং করা অংশের পরিমাণ বদলায় না।
সমতুল ভগ্নাংশ
লব আর হরকে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ (বা ভাগ) করলে পরিমাণ একই থাকে, শুধু টুকরার মাপ বদলায়: ৩/৪ = ৬/৮ = ৯/১২। যতদূর সম্ভব ভাগ করে ছোট করাকে বলে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ: ৬/৮ হয়ে যায় ৩/৪।
তুলনা আর যোগ
কোনটা বড়, ২/৩ না ৩/৪? দুটোকেই বারো ভাগে আনো: ২/৩ = ৮/১২ আর ৩/৪ = ৯/১২, তাই ৩/৪ বড়। যোগও একইভাবে: শুধু একই মাপের টুকরা যোগ করা যায়: ১/২ + ১/৪ = ২/৪ + ১/৪ = ৩/৪।
এক কথায়
ভগ্নাংশ মানে কয়টি সমান টুকরা; টুকরার মাপ বদলালে সংখ্যা বদলায়, কিন্তু পরিমাণ একই থাকে।
যে সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত p/q (q ≠ ০) আকারে লেখা যায়, তা মূলদ সংখ্যা: ৩, −২, ৩/৪, ০.২৫, এমনকি ০.৩৩৩… (= ১/৩)। কিছু সংখ্যা কোনোভাবেই এভাবে লেখা যায় না; এরা অমূলদ সংখ্যা। মূলদ আর অমূলদ মিলে বাস্তব সংখ্যা।
কম্পাস দিয়ে কর্ণটিকে সংখ্যারেখায় নামালে √2-এর ঠিক অবস্থান পাওয়া যায়, যদিও তার দশমিক রূপ কখনো শেষ হয় না।
দশমিকে পার্থক্য চেনো
মূলদ সংখ্যার দশমিক রূপ হয় শেষ হয়ে যায় (০.২৫), নয়তো একটা অংশ বারবার ফিরে আসে (০.১৪২৮৫৭১৪২৮৫৭…, যা ১/৭)।
অমূলদ সংখ্যার দশমিক রূপ শেষও হয় না, পুনরাবৃত্তও হয় না: √2 = ১.৪১৪২১৩…, π = ৩.১৪১৫৯২…।
√4 = ২ মূলদ, কিন্তু যে স্বাভাবিক সংখ্যা পূর্ণবর্গ নয় তার বর্গমূল (√2, √3, √5) অমূলদ।
এক কথায়
p/q আকারে লেখা গেলে সংখ্যা মূলদ, না গেলে অমূলদ; অমূলদ সংখ্যার দশমিক রূপ শেষও হয় না, পুনরাবৃত্তও হয় না, তবু সংখ্যারেখায় তার নির্দিষ্ট জায়গা আছে।
সুনির্দিষ্টভাবে চেনা যায় এমন বস্তুর সংগ্রহকে বলে সেট। সেটকে বড় হাতের অক্ষরে আর উপাদানগুলো দ্বিতীয় বন্ধনীতে লেখা হয়: A = {২, ৪, ৬, ৮}। আলোচনার সব উপাদান নিয়ে সেটকে বলে সার্বিক সেট U।
সংযোগে দুই সেটের সব উপাদান, ছেদে শুধু সাধারণ উপাদান। ১, ৫, ৭ আছে U-তে, কিন্তু A বা B কোনোটিতেই নয়।
উপসেট: B-এর সব উপাদান A-তে থাকলে B ⊆ A। যেমন {২, ৪} ⊆ {২, ৪, ৬, ৮}।
ফাংশন এমন এক নিয়ম, যেখানে প্রতিটি ইনপুটের জন্য ঠিক একটি আউটপুট। f(x) = 2x + 1 মেশিনে ৩ দিলে বেরোয় ৭, ৫ দিলে ১১। যেসব মান ইনপুট দেওয়া যায় তা ডোমেন, আর যেসব আউটপুট আসে তা রেঞ্জ।
এক কথায়
সেট হলো সুনির্দিষ্ট বস্তুর সংগ্রহ; সংযোগে সব উপাদান, ছেদে শুধু সাধারণগুলো, আর ফাংশন প্রতিটি ইনপুটকে ঠিক একটি আউটপুট দেয়।
একই সংখ্যাকে বারবার গুণ করাকে ছোট করে লেখা হয় সূচকে: ২ × ২ × ২ × ২ × ২ = 2⁵ = ৩২। এখানে ২ ভিত্তি, ৫ সূচক।
লগারিদম উল্টো প্রশ্নের উত্তর দেয়: ৩২ পেতে ২-কে কতবার গুণ করতে হয়? উত্তর ৫, তাই log₂ ৩২ = ৫।
প্রতিবার দ্বিগুণ: ১ → ২ → ৪ → ৮ → ১৬ → ৩২। লগারিদম গোনে কতবার।
সূচকের নিয়ম
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (যেমন 2³ × 2² = 2⁵)
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, আর a⁰ = ১ (a ≠ ০)
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
aˣ = N হলে logₐ N = x
১০-ভিত্তিক লগারিদমে log ১০০০ = ৩, কারণ 10³ = ১০০০। খুব বড় বা ছোট সংখ্যা লেখা হয় বৈজ্ঞানিক রূপে: পৃথিবী থেকে সূর্যের দূরত্ব প্রায় ১.৫ × 10⁸ কিলোমিটার।
এক কথায়
সূচক বলে কতবার গুণ, লগারিদম বলে ফল পেতে কতবার গুণ লাগে: 2⁵ = ৩২ মানেই log₂ ৩২ = ৫।
সমীকরণ মানে দুই দিক সমান, ঠিক সমান ভারের দাঁড়িপাল্লার মতো। অজানা সংখ্যা x বের করতে দুই দিকে একই কাজ করতে হয়: একই সংখ্যা যোগ, বিয়োগ, গুণ বা ভাগ (শূন্য দিয়ে ভাগ ছাড়া)। তাহলে পাল্লা সমানই থাকে।
x + ৩ = ৭: দুই পাল্লা থেকে ৩টি করে সরালে পাল্লা সমান থাকে, আর দেখা যায় x = ৪।
আরেকটা উদাহরণ
৩x − ৫ = ১০ → দুই দিকে ৫ যোগ: ৩x = ১৫ → দুই দিককে ৩ দিয়ে ভাগ: x = ৫। শেষে মিলিয়ে দেখো: ৩ × ৫ − ৫ = ১০ ✓।
দ্বিঘাত সমীকরণ
x² = ৯ সমীকরণের দুটি সমাধান: x = ৩ অথবা x = −৩, কারণ দুটোর বর্গই ৯। x² − ৫x + ৬ = ০ উৎপাদকে ভাঙলে (x − ২)(x − ৩) = ০, তাই x = ২ অথবা ৩।
এক কথায়
সমীকরণের দুই দিকে একই কাজ করলে সমতা বজায় থাকে; এভাবে ধাপে ধাপে x-কে একা করলেই সমাধান।
যেমন খুশি ত্রিভুজ আঁকো: লম্বা, চ্যাপ্টা, বাঁকা। তিনটি কোণ যোগ করলে সবসময় পাবে ১৮০°, অর্থাৎ দুই সমকোণ, একটা সরলরেখার সমান।
নিচের দুটি কোণ ঘুরিয়ে ওপরে নাও: তিনটি কোণ মিলে একটা সরলরেখা হয়।
কেন এমন হয়
ওপরের শীর্ষবিন্দু দিয়ে ভূমির সমান্তরাল একটা রেখা আঁকো। সেই রেখা আর প্রতিটি হেলানো বাহুর মধ্যের কোণ একই দিকের নিচের কোণের সমান (এরা একান্তর কোণ)। তাই তিনটি কোণ পাশাপাশি বসে একটা সরলরেখা তৈরি করে, আর সরলরেখা মানে ১৮০°।
কাজে লাগাও
দুটি কোণ ৫০° আর ৬০° হলে তৃতীয়টি ১৮০ − ৫০ − ৬০ = ৭০°।
সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণই সমান, তাই প্রতিটি ১৮০ ÷ ৩ = ৬০°।
সমকোণী ত্রিভুজের বাকি দুটি সূক্ষ্মকোণের যোগফল সবসময় ৯০°।
নিজে করে দেখো
কাগজ থেকে একটা ত্রিভুজ কেটে নাও, কোণগুলোতে রং করো, তারপর ছিঁড়ে আলাদা করো। ছেঁড়া তিনটি কোণের মাথা এক বিন্দুতে মিলিয়ে পাশাপাশি রাখো। যে ত্রিভুজ দিয়েই শুরু করো, তারা একটা সোজা রেখায় মিলে যাবে।
এক কথায়
যেকোনো ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°, অর্থাৎ দুই সমকোণ।
সমকোণী ত্রিভুজে একটি সূক্ষ্মকোণ θ নিলে তার বিপরীত বাহু লম্ব, পাশের বাহু ভূমি, আর সবচেয়ে বড় বাহু অতিভুজ। কোণ নির্দিষ্ট থাকলে ত্রিভুজ বড়-ছোট যা-ই হোক, বাহুগুলোর অনুপাত একই থাকে।
sin θ = লম্ব ÷ অতিভুজ
cos θ = ভূমি ÷ অতিভুজ
tan θ = লম্ব ÷ ভূমি = sin θ ÷ cos θ
অতিভুজ ১ ধরলে লম্বের দৈর্ঘ্যই sin θ আর ভূমির দৈর্ঘ্যই cos θ।
যে মানগুলো মনে রাখার মতো
sin ৩০° = ১/২, cos ৬০° = ১/২, tan ৪৫° = ১, sin ৯০° = ১, cos ০° = ১। পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকেই আসে সবচেয়ে দরকারি অভেদ:
sin²θ + cos²θ = ১
এক কথায়
sin = লম্ব/অতিভুজ, cos = ভূমি/অতিভুজ, tan = লম্ব/ভূমি; কোণ ঠিক থাকলে অনুপাতগুলো ত্রিভুজের আকারের ওপর নির্ভর করে না।
গাছ, টাওয়ার বা নদীর ওপারের বাড়ি: উঠে বা পার হয়ে মাপা কঠিন। কিন্তু মাটিতে দাঁড়িয়ে একটা দূরত্ব আর একটা কোণ মাপলেই ত্রিকোণমিতি বাকিটা বলে দেয়।
সমতল থেকে ওপরের কোনো বিন্দুর দিকে তাকালে দৃষ্টিরেখা আর আনুভূমিক রেখার মধ্যের কোণকে বলে উন্নতি কোণ; ওপর থেকে নিচে তাকালে তা অবনতি কোণ।
দূরত্ব আর উন্নতি কোণ জানলে উচ্চতা = দূরত্ব × tan (উন্নতি কোণ)।
বাস্তবে চোখ মাটি থেকে একটু ওপরে থাকে, তাই নিখুঁত উত্তরের জন্য চোখের উচ্চতা (ধরো ১.৫ মিটার) যোগ করতে হয়। কোণ মাপা যায় ক্লিনোমিটার দিয়ে, এমনকি স্কুলের চাঁদা আর একটা সুতো-ঝোলানো ভার দিয়ে বানানো যন্ত্রেও।
এক কথায়
উন্নতি কোণ আর দূরত্ব জানলে উচ্চতা = দূরত্ব × tan কোণ; এভাবে না উঠেই গাছ বা টাওয়ারের উচ্চতা মাপা যায়।
দুটি অজানা x আর y-এর জন্য দুটি শর্ত: দুটি সংখ্যার যোগফল ৫, বিয়োগফল ১। প্রতিটি সমীকরণের লেখচিত্র একটি সরলরেখা; যে বিন্দুতে দুই রেখা মেলে, সেটিই দুই শর্তই একসঙ্গে মানে।
দুই রেখার ছেদবিন্দু (৩, ২): x = ৩, y = ২। মিলিয়ে দেখো: ৩ + ২ = ৫, ৩ − ২ = ১।
বীজগণিতে সমাধান
অপনয়ন পদ্ধতি: দুই সমীকরণ যোগ করো: (x + y) + (x − y) = ৫ + ১, অর্থাৎ ২x = ৬, x = ৩। তারপর প্রথমটিতে বসাও: ৩ + y = ৫, তাই y = ২।
প্রতিস্থাপন পদ্ধতি: দ্বিতীয়টি থেকে x = y + ১; প্রথমটিতে বসাও: (y + ১) + y = ৫, তাই y = ২ আর x = ৩।
রেখা দুটি সমান্তরাল হলে কখনো মেলে না, তখন কোনো সমাধান নেই; আর দুটি একই রেখা হলে সমাধান অসংখ্য।
এক কথায়
সহসমীকরণের সমাধান হলো দুই রেখার ছেদবিন্দু, যা অপনয়ন বা প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে বীজগণিত দিয়েও বের করা যায়।
দুটি ত্রিভুজের কোণগুলো সমান হলে তারা সদৃশ: আকার আলাদা, কিন্তু আকৃতি এক। সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান।
সূর্যের রশ্মি সমান্তরাল, তাই খুঁটি আর গাছের ত্রিভুজ সদৃশ: উচ্চতা ÷ ছায়া একই। ২ ÷ ৩ = গাছ ÷ ১৫, তাই গাছ = ১০ মিটার।
প্রাচীন গ্রিক গণিতবিদ থেলিসের নামে প্রচলিত গল্প আছে: তিনি এভাবেই ছায়া মেপে মিশরের পিরামিডের উচ্চতা বের করেছিলেন। মানচিত্রও সদৃশতার উদাহরণ: স্কেল ১ : ১০,০০,০০০ মানে মানচিত্রের ১ সেমি আসলে ১০ কিলোমিটার।
প্রতিসমতা
কোনো রেখা বরাবর ভাঁজ করলে দুই অংশ হুবহু মিলে গেলে চিত্রটি রৈখিক প্রতিসম, আর রেখাটি প্রতিসাম্য রেখা। বর্গের প্রতিসাম্য রেখা ৪টি, সমবাহু ত্রিভুজের ৩টি, বৃত্তের অসংখ্য। আমাদের জাতীয় স্মৃতিসৌধ আর শহিদ মিনারের নকশাও প্রতিসম।
এক কথায়
সদৃশ ত্রিভুজের কোণ সমান আর বাহুর অনুপাত সমান; তাই ছোট খুঁটির ছায়া দিয়ে বড় গাছের উচ্চতা বের করা যায়।
যেকোনো সমকোণী (৯০°) ত্রিভুজ নাও। সমকোণের বিপরীত দিকের সবচেয়ে বড় বাহুটির নাম অতিভুজ। প্রতিটি বাহুর ওপর একটা করে বর্গ আঁকো। অতিভুজের ওপরের বড় বর্গের ক্ষেত্রফল সবসময় বাকি দুটি ছোট বর্গের ক্ষেত্রফলের যোগফলের সমান।
a² + b² = c²
a² + b² = ৯ + ১৬ = ২৫ = c², তাই c = ৫
a আর b সরিয়ে ত্রিভুজটা বদলাও। যে আকারই বানাও, ছোট দুটি বর্গ মিলে সবসময় বড়টির সমান হয়। ৬ আর ৮ দিয়ে চেষ্টা করো: আরেকটা পূর্ণসংখ্যার ত্রিভুজ পাবে।
রাজমিস্ত্রিরা প্রতিদিন এটা কাজে লাগান
কোনো কোণ ঠিক সমকোণ কি না দেখতে রাজমিস্ত্রি এক দেয়াল বরাবর ৩ মিটার আর অন্য দেয়াল বরাবর ৪ মিটার মাপেন। দুই দাগের মধ্যের কোনাকুনি দূরত্ব ঠিক ৫ মিটার হলে কোণটি সত্যিকারের সমকোণ, কারণ ৯ + ১৬ = ২৫।
মইয়ের প্রশ্নেরও উত্তর মেলে: ৫ মিটার লম্বা মইয়ের গোড়া দেয়াল থেকে ৩ মিটার দূরে থাকলে মইটি দেয়ালের ৪ মিটার উঁচুতে পৌঁছায়।
এক কথায়
সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজের ওপর অঙ্কিত বর্গ বাকি দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গের সমষ্টির সমান: a² + b² = c²।
যেকোনো বৃত্তের পরিধিকে তার ব্যাস দিয়ে ভাগ করলে একই সংখ্যা পাওয়া যায়: π (পাই), প্রায় ৩.১৪১৬। তাই পরিধি = π × ব্যাস = 2πr।
চাকা এক পাক ঘুরলে ঠিক পরিধির সমান পথ যায়: 2πr। সাইকেলের চাকার মিটার এভাবেই দূরত্ব মাপে।
ক্ষেত্রফল কেন πr²
বৃত্তকে পিৎজার মতো অনেকগুলো সরু টুকরায় কাটো, তারপর টুকরাগুলো একবার ওপরমুখী একবার নিচমুখী করে পাশাপাশি সাজাও। প্রায় একটা আয়তক্ষেত্র হয়, যার দৈর্ঘ্য পরিধির অর্ধেক (πr) আর প্রস্থ ব্যাসার্ধ (r)। টুকরা যত সরু, আকৃতি তত নিখুঁত আয়তক্ষেত্র।
ক্ষেত্রফল = πr × r = πr²
উদাহরণ: ৭ সেমি ব্যাসার্ধের রুটির ক্ষেত্রফল ≈ ৩.১৪১৬ × ৪৯ ≈ ১৫৪ বর্গসেমি। আয়তনে: বেলনের (সিলিন্ডারের) আয়তন = πr²h, তাই ১০ সেমি উঁচু, ৭ সেমি ব্যাসার্ধের পানির বোতলে ধরে প্রায় ১,৫৪০ ঘন সেমি বা ১.৫৪ লিটার।
এক কথায়
পরিধি = 2πr, কারণ চাকা এক পাকে পরিধির সমান পথ যায়; আর বৃত্তকে কেটে আয়তক্ষেত্রে সাজালে ক্ষেত্রফল দাঁড়ায় πr²।
